Trigonometría analítica, números complejos, cónicas y matrices. Las 5 unidades están completas, con ejercicios y un examen final de práctica de 2 horas al final.
Aquí conectamos los ángulos con identidades que nos dejan simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas. La identidad más usada es la identidad pitagórica: sen²(x) + cos²(x) = 1, válida para cualquier ángulo x.
Ejemplo resuelto: Si sen(x) = 3/5 y x está en el primer cuadrante, halla cos(x).
Usamos la identidad: cos²(x) = 1 − sen²(x) = 1 − 9/25 = 16/25. Como x está en el primer cuadrante, cos(x) es positivo: cos(x) = 4/5.
Ejemplo de identidad de suma: sen(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B). Se usa para calcular senos de ángulos que no están en la tabla básica, como 75° = 45° + 30°.
1. ¿Cuánto vale sen²(x) + cos²(x) para cualquier ángulo x?
2. Si sen(x) = 3/5 y x está en el primer cuadrante, ¿cuánto es cos(x)?
3. En el segundo cuadrante, ¿cos(x) es positivo, negativo, o cero?
1. Si cos(x) = 4/5 y x está en el primer cuadrante, ¿cuánto es sen(x)?
2. ¿Cuál identidad define tan(x) en términos de seno y coseno?
3. ¿cos(x) es una función par o impar?
4. ¿En qué ángulo (entre 0° y 360°) sen(x) alcanza su valor máximo de 1?
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Un número complejo tiene la forma a + bi, donde i es la unidad imaginaria: i² = −1. El teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, contando multiplicidad (y permitiendo raíces complejas).
Ejemplo de suma: (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i.
Ejemplo de multiplicación: (2 + i)(1 − i) = 2 − 2i + i − i² = 2 − i + 1 = 3 − i (recordando que −i² = +1).
Raíces complejas: si un polinomio tiene coeficientes reales y una raíz compleja a + bi, entonces su conjugado a − bi también es raíz.
1. i² = ?
2. (3 + 2i) + (1 + 4i) = ?
3. Según el teorema fundamental del álgebra, ¿cuántas raíces (contando multiplicidad) tiene un polinomio de grado 4?
4. (2i)(3i) = ?
1. i³ = ?
2. (5 + i) − (2 + 3i) = ?
3. Si un polinomio con coeficientes reales tiene la raíz 3 + i, ¿qué otra raíz debe tener también?
4. (4i)² = ?
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Las cónicas son las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano: círculo, parábola, elipse e hipérbola. Cada una tiene una ecuación estándar reconocible.
Círculo: (x − h)² + (y − k)² = r², centro (h, k), radio r. Ejemplo: x² + y² = 9 tiene centro (0,0) y radio 3.
Elipse centrada en el origen: x²/a² + y²/b² = 1. Hipérbola: x²/a² − y²/b² = 1. La diferencia clave es el signo entre los dos términos.
1. Radio del círculo x² + y² = 25.
2. Centro del círculo (x − 2)² + (y + 3)² = 16.
3. La gráfica de y = x² es una:
4. ¿Qué cónica tiene la ecuación x²/a² + y²/b² = 1?
1. Radio del círculo x² + y² = 49.
2. Centro del círculo (x + 1)² + (y − 5)² = 9.
3. Vértice de la parábola y = (x − 2)² + 3.
4. ¿Qué cónica tiene la ecuación x²/a² − y²/b² = 1?
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Un sistema de ecuaciones se puede resolver por sustitución o eliminación. Las matrices son arreglos de números que también sirven para representar y resolver sistemas; su orden se escribe como filas × columnas.
Ejemplo de eliminación: Resuelve x + y = 5, x − y = 1. Sumando ambas ecuaciones: 2x = 6, así x = 3; sustituyendo, y = 2.
Ejemplo de orden de matriz: una matriz con 2 filas y 3 columnas tiene orden 2×3.
1. Resuelve: x + y = 5, x − y = 1. ¿Cuánto es x?
2. En el sistema anterior, ¿cuánto es y?
3. ¿Cuál es el orden de una matriz con 2 filas y 3 columnas?
4. ¿Qué es la matriz identidad?
1. Resuelve: 2x + y = 8, x − y = 1. ¿Cuánto es x?
2. En el sistema anterior, ¿cuánto es y?
3. Si A es de orden 3×2 y B es de orden 2×4, ¿de qué orden es A·B?
4. ¿Cuántas soluciones tiene un sistema formado por dos rectas paralelas distintas?
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Una sucesión aritmética suma la misma cantidad (d) cada vez: aₙ = a₁ + (n−1)d. Una sucesión geométrica multiplica por la misma razón (r) cada vez: aₙ = a₁ · r^(n−1). La inducción matemática prueba afirmaciones para todos los números naturales en dos pasos: el caso base y el paso inductivo.
Ejemplo aritmético: a₁ = 3, d = 2. a₅ = 3 + 4(2) = 11.
Ejemplo geométrico: a₁ = 5, r = 2. a₃ = 5 · 2² = 20.
Inducción: primero se prueba que la afirmación es cierta para n = 1 (caso base); luego se asume cierta para n = k y se demuestra que también lo es para n = k+1 (paso inductivo).
1. Sucesión aritmética con a₁ = 2, d = 3. ¿Cuánto es a₄?
2. Sucesión geométrica con a₁ = 5, r = 2. ¿Cuánto es a₃?
3. En inducción matemática, el primer paso se llama:
4. Si a₁ = 10 y d = −2 (aritmética), ¿cuánto es a₃?
1. a₁ = 1, d = 5. ¿Cuánto es a₆?
2. a₁ = 3, r = 3. ¿Cuánto es a₄?
3. Asumir que se cumple para n = k y probar que se cumple para n = k+1 es el:
4. ¿Cuál es la diferencia común (d) de la sucesión 4, 7, 10, 13, …?
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1. Si sen(x) = 3/5 (primer cuadrante), ¿cuánto es cos(x)?
2. i² = ?
3. (4 + i) + (1 + 2i) = ?
4. Radio del círculo x² + y² = 16.
5. x²/9 − y²/4 = 1 es la ecuación de una:
6. Resuelve: 3x + y = 13, x − y = 3. ¿Cuánto es x?
7. ¿Cuál de estos órdenes corresponde a una matriz cuadrada?
8. Sucesión aritmética con a₁ = 1, d = 4. ¿Cuánto es a₅?
⏰ Se acabó el tiempo. Así se siente un final real — revisa tus respuestas y repite cuando quieras.